Основные преобразования

Создавая использующие Direct3D программы, для представления преобразований мы будем применять матрицы 4× 4. Идея заключается в следующем: мы инициализируем элементы матрицы X размером 4 × 4 таким образом, чтобы они описывали требуемое преобразование. Затем мы помещаем координаты точки или компоненты вектора в столбцы вектора-строки v размером 1 × 4. Результатом произведения vX будет новый преобразованный вектор v'. Например, если матрица X представляет перемещение на 10 единиц вдоль оси X, и v = [2, 6, –3, 1], произведение vX = v' = [12, 6, –3, 1].

Следует пояснить несколько моментов. Мы используем матрицы размера 4 × 4 по той причине, что они позволяют представить все необходимые нам преобразования. На первый взгляд матрицы размером 3 × 3 кажутся более подходящими для трехмерной графики. Однако, с их помощью нельзя представить ряд преобразований, которые могут нам потребоваться, таких как перемещение, перспективная проекция и отражение. Помните, что мы работаем с произведением вектора на матрицу и при выполнении преобразований ограничены правилами умножения матриц. Дополнение матрицы до размера 4 × 4 позволяет нам с помощью матрицы описать большинство преобразований и при этом произведение вектора на матрицу будет определено.

Мы упомянули, что координаты точки или компоненты вектора будем хранить в столбцах вектора-строки размером 1 × 4. Но наши точки и векторы — трехмерные! Зачем же использовать вектор-строку 1 × 4? Мы должны дополнить наши трехмерные точки/векторы до четырехмерного вектора-строки 1 × 4 чтобы был определен результат умножения вектора на матрицу; произведение вектора-строки 1 × 3 и матрицы 4 × 4 не определено.

Так какое же значение использовать для четвертой компоненты, которую, кстати, мы будем обозначать w? Когда вектор-строка 1 × 4 используется для представления точки, значение w будет равно 1. Это позволяет корректно выполнять перемещение точки. Поскольку вектор не зависит от местоположения, операция перемещения векторов не определена и результат попытки переместить вектор не имеет смысла. Чтобы предотвратить перемещение векторов мы, помещая компоненты вектора в вектор-строку 1 × 4, присваиваем компоненте w значение 0. Например, точка p = (p1, p2, p3), помещенная в вектор-строку 1 × 4 будет выглядеть как [p1, p2, p3, 1], а вектор v = (v1, v2, v3), помещенный в вектор-строку 1 × 4 будет выглядеть как [v1, v2, v3, 0].

ПРИМЕЧАНИЕ

Мы устанавливаем w = 1 чтобы корректно осуществлялось перемещение точек. Мы устанавливаем w = 0, чтобы предотвратить перемещение векторов. Это станет более ясно, когда мы рассмотрим реальную матрицу переноса.
ПРИМЕЧАНИЕ

Дополненный четырехмерный вектор называется однородным вектором (homogenous vector) и, поскольку однородный вектор может описывать и точки и векторы, мы будем использовать термин «вектор», подразумевая, что он может относиться как к точке, так и к вектору.
Иногда в результате преобразований компонента w вектора будет меняться таким образом, что w ≠ 0 и w ≠ 1. Взгляните на следующий пример:

Содержание раздела